你的生日跟我一樣
提到巧合，首先要講的是，我們經常是過度重視巧合。
小學課堂上有人提到生日課題。班上共有30位學童，一位大聲說：「莎莉的生日和我的相同。」這對兩人來說都非常重要，其他同學也都非常興奮。
「那是我生日耶！」
然而，這種情節卻不罕見，看來或許令人不解。不管你走進哪個班級，通常至少都可以找到兩位學童的生日相同。或許多數人會認為這是罕見的巧合。畢竟，一年有365天，因此或許你會預期，班上同學至少要達到約180位，才有半數機率出現生日巧合。
然而，事實並非如此。其實班級人數只要達到23，其中兩位的生日相同的機率就會超過五五波。事實上，由於生日並不是全年平均分布，只要是學童人數達到20的班級，或許還是可以在其中半數發現生日巧合。
怎麼會這樣呢？要了解這個道理，首先要知道該怎樣計算兩起「獨立」事件的同時發生機率，把個別事件的發生機率相乘（請參見本書第109頁的「知識補給站」）。好比，拋硬幣得到兩次正面的機率為 1/ 2 × 1/ 2 ＝ 1/ 4 ，或為4中取1。你可以拋擲兩個硬幣，看會出現哪種組合，這樣你就會相信了。反覆實驗100次，並計算雙雙為正面的次數。應該約為25次。這裡並不保證正好等於25次，不過倘若你的答案並非介於20次和30次之間，或許你拋硬幣的手法就很特別。
某孩童在哪天出生，和另一位孩童的生日並無關係（只要兩人並非孿生子！），這點和拋硬幣相同。這就表示生日巧合機率的算法，和你計算硬幣拋擲機率的方式相同，把兩項機率相乘即可。不過，且不要計算巧合機率，就讓我們算出所有孩童的生日都不相同的機率。事實上這還比較好算。
先想像，你班上只有兩位學童。第一位的生日為6月14日。第二位學童在不同日出生的機率為何？答案可以從另外364天選定，因此機率為364/365，這時莎拉進入教室。她的生日和另外兩位學童的是否不同？倘若另外兩位學童的生日中兩位的生日並不相同，那麼莎拉的生日也不相同的機率就為 363/365 ，因為只剩下 363 天為不同日……就這樣繼續下去。
當其他學童分別進入教室，他們的生日也都不同的機率就會再略微遞減。第 23 位學童的生日和所有其他學童都不相同的機率就是 343/365。
生命中發生奇妙巧合的機率會高嗎？
那麼發生有趣巧合的機率有多高？
讓我們粗略估計一下。假定你今天有百萬分之一的機會，要發生一件永生難忘，可遇不可求的巧合，而且你在往後的任何一天，都有可能碰上這樣的罕見巧合，總共有100次機會。
好比你突發奇想，決定賭全國大賽馬，在沒有勝算的馬匹中挑選三匹下注，比賽結果牠們卻分獲第一、第二和第三名。或者你在大選日開車外出投票，結果在回家途中發生輕微車禍，卻發現另一輛車中的乘客就是你那區的國會議員老兄。這些就是「百萬分之一」類型的巧合事件。順道一提，夢到朋友贏得博彩，結果在幾天之內成真也算是這種巧合事件。
這和生日的例子一樣，要計算這種巧合的發生機率，最好的作法也是先檢視不發生這種巧合的機率。
你明天完全不碰上這類巧合的機率有多高？不發生百萬中取一的事件之機率為0.999999。我們已經估計出，你在任何一天都可能碰上這種事件，總共有100次機會，因此完全沒有發生的機率為： 0.999999×0.999999×0.999999……連乘100次。
這約等於0.9999，或一萬次中有9999次。這就表示，你在明天碰上這種巧合的機率為10000中取1。還是非常不可能出現。
下週的狀況為何？往後每七天內，每天都出現百萬分之一機會之巧合的機率有多高？計算作法和前面相同。本週每天都像今天一樣無聊的機率為： 0.9999×0.9999×0.9999……連乘7次。
或約為0.9993。這就表示下週有萬中取9993的機率會很無聊，而萬分之七則會發生奇妙的巧合。
來年每週都像本週一樣無聊的機率為： 0.9993×0.9993×0.9993……連乘52次。
或0.964，也就是約29/30。突然之間，這開始變得有趣了。你在往後20年間，每年都不會碰上百萬分之一機會之巧合事件的機率為： 0.964×0.964×0.964……連乘20次。 這就等於0.48，或48%的機會。
根據這種極端將就的計算方法，在往後20年間，你實際上有超過五五波的機會，會碰上難以忘懷的百萬分之一機率巧合事件。這也表示，在你所認識的人當中，每20人當中就有1人，有超過50%的機率，會在往後一年當中有奇妙的故事可以講。因此，這和有23位學童的班級一樣，你們當中有1人會在今年碰上奇妙巧合的機率為52%，超過半數！或許生命畢竟並不是那麼無聊。
當然，我們這裡也做了重大假設。誰知道在任何一天當中，在你身上要發生多少驚人的巧合事件？或許有好幾千起。事實上，有些巧合只有十億分之一的機會，另外還有些則或許是千分之一。不過，我們非常粗略的估計或許並不是那麼極端，而且就在今年，你或你的親近朋友就會有半數機會要碰上有趣的事件，這就顯示當你聽到某人的驚悚巧合之時，也實在不該感到意外。
儘管如此，口頭上還容易講，等到你真的碰上，就很難以平常心看待。底下是我們收到的真實故事：
「我在幾年前去拜訪一位新認識的人。她的女兒小莎拉也在那裡拿蠟筆畫畫。我為她畫了個月亮說：『當然，妳從月球的形狀就可以看出日期！』（我那時隨便亂講的）『那麼日期是……隨便想出個日期……8月17日。』那位母親倒抽一口氣並說：『我就知道你會這樣講。莎拉的生日是 8 月 17 日，我的也是，還有我先生的也是。』 」
那是種難以忘懷的巧合。那種巧合很有趣也很罕見，而且也可以說是千載難逢。
本文節錄自《為什麼公車一次來三班？：從自然的奧妙原理到日常的不思議定律，探索生活中隱藏的81個數學謎題》